分析力学笔记
我们在幼儿园中班的时候，曾经学过以牛顿三大定律为代表的古典力学/运动学。
那么我们迎来幼儿园毕业的时候，理应掌握一些近代分析力学知识，以应付小学一年级的日常生活。
广义坐标
任意选择的（最好是相互独立的），符合约束条件的能够描述物理系统运动的几个参数\(q_i\)，广义坐标与时间\(t\)共同表达物体运动的位矢\(\mathbf{r}=\mathbf{r}(q_1,q_2,\dots,q_m,t)\)（此时系统自由度为m）
经典例子为双摆的两个摆臂与铅垂线夹角
虚位移
是一个微分学的概念，就是时间参数不变（\(\delta t=0\)）时，系统位矢对广义坐标的全微分
记位矢是广义坐标与时间的函数：
则此位矢的无穷小位移（对所有参数的全微分）为
而虚位移\(\delta\mathbf{r_i}\)就是当\(\delta t=0\)的时候，位矢对广义坐标的全微分：
达朗贝尔原理
达朗贝尔原理指对于任意物理系统，所有惯性力与加的外力之和，在经过符合约束条件的虚位移时，所做的虚功为0
考虑牛顿第二定律：
其中\(\mathbf{F}^{(T)}_i=\mathbf{F}_i+\mathbf{C}_i\)是外力\(\mathbf{F}_i\)与约束力\(\mathbf{C}_i\)的合力，而达朗贝尔把\(-m_i\mathbf{a}_i\)视为惯性力(initia)\(\mathbf{I}_i\)，并把它挪到等号左边创造一个守衡量
而达朗贝尔原理（虚功原理）指出，每一个粒子经过虚位移\(\delta\mathbf{r}_i\)，外力和惯性力之向量和所作的虚功等与0，即
作用在所有粒子的虚功总和\(\delta W=\sum_{i}\delta W_i\)也等于0
进一步把作用在每个粒子上的合力\(\mathbf{F}^{(T)}_i\)拆解成外力\(\mathbf{F}_i\)与约束力\(\mathbf{C}_i\)，在一个理想约束系统中，系统中约束力所做的虚功之和为0，即约束力对每一个粒子的合理的虚功为0。这个是分析力学额外的假设，约束力就是约束体给运动体的力，比如滑块在光滑水平桌面上滑动，约束力就是桌子对滑块的支持，这些约束力的虚功为0。达朗贝尔原理此时变为只包含外力（主动力）与惯性力的版本：
此时这个主动力与惯性力的和，被成为“有效力”\(\mathbf{F}^{eff}_i\)，即达朗贝尔原理可表示为：有效力经过符合约束条件的虚位移虚功总和为0（注意这里每个粒子的有效力很可能不等于0）