分析力学笔记
我们在幼儿园中班的时候,曾经学过以牛顿三大定律为代表的古典力学/运动学。
那么我们迎来幼儿园毕业的时候,理应掌握一些近代分析力学知识,以应付小学一年级的日常生活。
广义坐标
任意选择的(最好是相互独立的),符合约束条件的能够描述物理系统运动的几个参数qi,广义坐标与时间t共同表达物体运动的位矢r=r(q1,q2,…,qm,t)(此时系统自由度为m)
经典例子为双摆的两个摆臂与铅垂线夹角
虚位移
是一个微分学的概念,就是时间参数不变(δt=0)时,系统位矢对广义坐标的全微分
记位矢是广义坐标与时间的函数:
则此位矢的无穷小位移(对所有参数的全微分)为
而虚位移δri就是当δt=0的时候,位矢对广义坐标的全微分:
达朗贝尔原理
达朗贝尔原理指对于任意物理系统,所有惯性力与加的外力之和,在经过符合约束条件的虚位移时,所做的虚功为0
考虑牛顿第二定律:
其中F(T)i=Fi+Ci是外力Fi与约束力Ci的合力,而达朗贝尔把−miai视为惯性力(initia)Ii,并把它挪到等号左边创造一个守衡量
而达朗贝尔原理(虚功原理)指出,每一个粒子经过虚位移δri,外力和惯性力之向量和所作的虚功等与0,即
作用在所有粒子的虚功总和δW=∑iδWi也等于0
进一步把作用在每个粒子上的合力F(T)i拆解成外力Fi与约束力Ci,在一个理想约束系统中,系统中约束力所做的虚功之和为0,即约束力对每一个粒子的合理的虚功为0。这个是分析力学额外的假设,约束力就是约束体给运动体的力,比如滑块在光滑水平桌面上滑动,约束力就是桌子对滑块的支持,这些约束力的虚功为0。达朗贝尔原理此时变为只包含外力(主动力)与惯性力的版本:
此时这个主动力与惯性力的和,被成为“有效力”Feffi,即达朗贝尔原理可表示为:有效力经过符合约束条件的虚位移虚功总和为0(注意这里每个粒子的有效力很可能不等于0)