说说怎么“改错题”
前两天在一个学（划）习（水）群里面有人问，针对自己在做联系册时做错的题目，要如何总结经验教训。这个问题实际上我们从小学到初中到大学，上任何一门用到教科书或需要考试的课程的时候都会遇到，毕竟学习就是一个从错误中不断纠正偏见，以获得进步的过程。我们在上学的时候也肯定被老师耳提面命过要整理错题本，说过什么“一道错胜过十道对”，“疏忽不是做错的原因，有知识点漏了才是，你1+1怎么从来没算错过”云云。但是回想一下，我们的错题本都是怎样整理的，是不是抄一遍题，写一遍解答，稍微负责任点的孩子还会标上做错的地方和怎么做错了？然后错题本放着接灰，记性好点的孩子下一次做同样题目的时候会回想起来这里有个坑，记性差的直接二进宫，一翻错题本才发现，原来上次同类型的题也做错过啊，所以得出结论：错题本果然还是没什么用处。而老师等“过来人”常常会把题目做错的原因总结为“就是这一层窗户纸没捅破”，也就是说我们还没有学到“顿悟”的等级。这就促使我们一遍又一遍地从概论开始读教科书，一遍又一遍刷题，期望用“熟悉”来代替“明白”，从而达到或者应付考试，甚至学到知识的结果。如果我们真的如小时候，如高中一般三年时间都应付几门内容并不繁多的学科考试，这种做法实际上很有效，因为书读百遍其意自现，我们也确实可以用这种高成本低效率的方法获得高回报（虽然我当初做得并不好，因为实在太害怕一遍又一遍地咕噜相似的知识点了）。而如果知识的容量爆炸性增长，时间又紧迫得不容我们如高中生般复习，我倒是总结出了一套从错误中学习的策略，可能效率相对会更高一些。
我们也许听说过坊间心理学界有个概念叫做“知识的诅咒”，其大概意思是说一个人在知道某件事情（可能是某个知识点，某种思维方式等）之后，就很难想象自己没有知道它之前的心里状况，有时还伴随着对不知道这件事的他人，或对之前的自己的嘲讽心理，觉得他们“连这么简单的事情都不知道”。比如说我们在做练习册时见到一道不会的题目，只看题目本身绞尽脑汁也想不出如何解答，但一看到参考答案心里就十万个“WTF”飘过，觉得自己就是这一窍没通居然会卡在这种题上。事实上如上文说得“一层窗户纸没捅破”一样，这种归因实际上很难帮助我们改进，要从错误中吸取教训，我们首先要明白“知识的诅咒”这种心理效应的存在。著名统计学家Thomas Bayes曾经研究过类似问题，从而提出了著名的贝叶斯公式：
获得某个知识后，我们得到的实际上是“posterior（后验）”式地熟悉了它（\(P(y|x)\)），而每次遇到题目或者解决问题的时候，我们都是在用自己心里的“prior（先验）”知识（\(P(x|y)\)）来解答问题。而人类的记忆是很不靠谱的，我们极有可能忘掉今天的后验知识，下次面对同样的问题还用之前的先验知识来解决。这就要求我们在了解后验知识之后，复原对题目“先验”理解。然后一条条列出先验知识带给我们的所有思路，再列出从题目到后验知识的种种可能的思考过程并对比两者，才能找出自己的先验知识缺少哪些关键点，再用各种记忆方法把这些关键点系统性地整合到自己的知识体系中，下次再遇到这类问题时才会多一条思考路径。
上文中贝叶斯推断隐喻的策略知识一个大方向，欲实现这个策略我们还有三个问题需要解决，一是如何避免“知识诅咒”回想先验知识，二是怎样找到问题到后验知识的思维路径，三是如何讲一个知识点系统性地整合到自己的知识体系中。先说怎样回想先验知识，最好的方法是把自己当初的思维过程都翔实地记录，在解决问题的时候要像欧拉一样多写思维过程，而不要学希尔伯特“把思考的痕迹一一擦除”。以这些记录作为框架回忆还不够，在复盘的时候我们还需要去除所有从后验知识衍生出来的推断与直觉，不能想当然地认为某个要点我们已经“掌握了”，而不考虑它到底是源自先验还是后验。
其次是怎样找到问题到标准答案的思维路径，这其实是个很大的问题，解释它实际上就是在谈怎样做数学证明，怎样证明一个问题对应的是某个答案。虽然我数学并不是强项，但也姑且记下对此的思考，权当为以后的自己作一个先验记录。欲证明A在C条件下是B，我一般的做法是列出A的定义，然后列出B的定义，找到他们之间相差的地方，看C是不是能把这些差距填补上。如果某个问题是一个证明题，这样的思考就已经足够，如果某个问题是一个求解的题目，这就需要我们罗列更多的符合被C限定的A的特例，以求“猜”出一个B，之后再回到证明题的思路，多数时候我们需要猜想很多的可能，此时的后验知识只是帮助省去了猜想的步骤，直接给出了正确的目标。上述问题是最简单的情况，更多的情况下需要我们“多拐一个弯”：例如证明A在C的条件下是有D限定的E，而所有的E又都是B，这样的证明不但需要我们猜出最终的结果，还需猜测欲达到最终结果需要什么过渡步骤（也就是中间的E），再猜起点到中间点，中间点到重点各需要补充怎样的证明等，至于这方面能力有限就不做赘述了。
最后是怎样把新知识点添加到思维系统中，这个过程实际上就是一个“记忆新知识”的过程，各种有关记忆力增强的书中都会提到，比如寻找pattern，提取公因项并分类归纳，每个分类不超过三个元素，作思维导图，记忆宫殿等众多方法比比皆是，也不作过多说明。
“改错题”时区分“先验”和“后验”，避免“知识诅咒”而回忆先验知识，找到题目到后验知识的思维路径，记忆“真正的”知识点缺漏，这些是我学习过程中总结并实证有效的一套原则，各人习惯不同可能难以推而广之，各位读者也肯定有自己总结的一套方式方法，非常欢迎在下边的评论区中分享你自己的宝贵经验，也同样欢迎针对文章中过于简略的地方，或者行文谬误等提出宝贵意见，先行谢过！